Pitanje:
Je li varijanca zbroja jednaka zbroju varijanci?
Abe
2012-06-27 03:44:30 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Je li (uvijek) istina da $$ \ mathrm {Var} \ lijevo (\ sum \ limit_ {i = 1} ^ m {X_i} \ desno) = \ sum \ limit_ {i = 1} ^ m { \ mathrm {Var} (X_i)} \ >? $$

Dokazi u nastavku daju dokaz.Intuicija se može vidjeti u jednostavnom slučaju var (x + y): ako su x i y pozitivno povezani, oboje će zajedno biti veliko / malo, povećavajući ukupne varijacije.Ako su u negativnoj korelaciji, skloni će se međusobno poništiti, smanjujući ukupne varijacije.
četiri odgovori:
Macro
2012-06-27 03:51:30 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Odgovor na vaše pitanje je "Ponekad, ali ne općenito".

Da biste to vidjeli, neka $ X_1, ..., X_n $ budu slučajne varijable (s konačnim varijancama). Zatim,

$$ {\ rm var} \ lijevo (\ sum_ {i = 1} ^ {n} X_i \ desno) = E \ lijevo (\ lijevo [\ sum_ {i = 1} ^ {n} X_i \ desno] ^ 2 \ desno) - \ lijevo [E \ lijevo (\ sum_ {i = 1} ^ {n} X_i \ desno) \ desno] ^ 2 $$

Sada imajte na umu da je $ (\ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i) ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ sum_ {j = 1} ^ {n} a_i a_j $, što je jasno ako razmišljate o tome što radite kad ručno izračunate $ (a_1 + ... + a_n) \ cdot (a_1 + ... + a_n) $. Prema tome,

$$ E \ lijevo (\ lijevo [\ sum_ {i = 1} ^ {n} X_i \ desno] ^ 2 \ desno) = E \ lijevo (\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ sum_ {j = 1} ^ {n} X_i X_j \ desno) = \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ sum_ {j = 1} ^ {n} E (X_i X_j) $$

slično,

$$ \ lijevo [E \ lijevo (\ sum_ {i = 1} ^ {n} X_i \ desno) \ desno] ^ 2 = \ lijevo [\ suma_ {i = 1} ^ {n} E (X_i) \ desno] ^ 2 = \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ sum_ {j = 1} ^ {n} E (X_i) E (X_j) $$

pa

$$ {\ rm var} \ lijevo (\ sum_ {i = 1} ^ {n} X_i \ desno) = \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ sum_ {j = 1} ^ {n} \ big (E (X_i X_j) -E (X_i) E (X_j) \ big) = \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ sum_ { j = 1} ^ {n} {\ rm cov} (X_i, X_j) $$

prema definiciji kovarijancije.

Sad što se tiče Je li varijanca zbroja jednaka zbroju varijanci? :

  • Ako su varijable nekorelirano, da : to jest, $ {\ rm cov} (X_i, X_j) = 0 $ za $ i \ neq j $, zatim $$ {\ rm var} \ lijevo (\ sum_ {i = 1 } ^ {n} X_i \ desno) = \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ sum_ {j = 1} ^ {n} {\ rm cov} (X_i, X_j) = \ sum_ {i = 1} ^ {n} {\ rm cov} (X_i, X_i) = \ sum_ {i = 1} ^ {n} {\ rm var} (X_i) $$

  • Ako su varijable u korelaciji, ne, ne općenito : Pretpostavimo, na primjer, $ X_1, X_2 $ dvije slučajne varijable, svaka s varijancom $ \ sigma ^ 2 $ i $ {\ rm cov} (X_1 , X_2) = \ rho $ gdje je $ 0 < \ rho < \ sigma ^ 2 $. Tada je $ {\ rm var} (X_1 + X_2) = 2 (\ sigma ^ 2 + \ rho) \ neq 2 \ sigma ^ 2 $, tako da identitet ne uspijeva.

  • ali to je moguće za određene primjere : Pretpostavimo da $ X_1, X_2, X_3 $ imaju matricu kovarijance $$ \ lijevo (\ begin {array} {ccc} 1 & 0,4 &- 0,6 \\ 0,4 & 1 & 0,2 \\ -0,6 & 0,2 & 1 \\\ kraj {niz} \ desno) $$ pa $ {\ rm var} (X_1 + X_2 + X_3) = 3 = {\ rm var} (X_1) + {\ rm var} (X_2) + {\ rm var} (X_3) $

Stoga ako varijable nisu povezane tada je varijanca zbroja zbroj varijanci, ali obratno općenito nije točno.

Što se tiče primjera matrice kovarijance, je li sljedeće točno: simetrija između gornjeg desnog i donjeg lijevog trokuta odražava činjenicu da je $ \ text {cov} (X_i, X_j) = \ text {cov} (X_j, X_i) $, ali simetrija između gornjeg lijevog i donjeg desnog dijela (u ovom slučaju $ \ text {cov} (X_1, X_2) = \ text {cov} (X_2, X_3) = 0,3 $ samo je dio primjera, ali bi mogao biti zamijenjen s dva različita broja koja zbroje 0,6 $, npr. $ \ text {cov} (X_1, X_2) = a $ i $ \ text {cov} (X_2, X, 3) = 0,6 -a $? Hvala još jednom.
Douglas Zare
2012-06-27 03:59:37 UTC
view on stackexchange narkive permalink

$$ \ text {Var} \ bigg (\ sum_ {i = 1} ^ m X_i \ bigg) = \ sum_ {i = 1} ^ m \ text {Var} (X_i) + 2 \ sum_ {i \ lt j} \ text {Cov} (X_i, X_j). $$

Dakle, ako su kovarijance u prosjeku 0 USD, što bi bilo posljedica ako su varijable u paru neusklađene ili ako su neovisne , tada je odstupanje zbroja zbroj odstupanja.

Primjer kada to nije točno: Neka $ \ text {Var} (X_1) = 1 $. Neka je $ X_2 = X_1 $. Tada je $ \ text {Var} (X_1 + X_2) = \ text {Var} (2X_1) = 4 $.

Rijetko će biti istina za varijance uzorka.
@DWin, "rijetko" je potcjenjivanje - ako $ X $ s imaju kontinuiranu raspodjelu, vjerojatnost da je varijanca zbroja uzorka jednaka zbroju varijanci uzorka u točno 0 :)
@Douglas Zare Znate li bilo koji način da se ovo izračuna ne-ručno?Recimo da zbrajam količine izmjerene u 30 zasebnih dana i one su vjerojatno na neki način povezane, iako izgledaju pomalo stohastično.Kako mogu izračunati nesigurnost zbrojene veličine?Ili bih trebao pretpostaviti najgori scenarij nesigurnosti linearnim zbrajanjem pojedinačne nesigurnosti procjene?
Omar Haque
2016-05-15 20:18:39 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Samo sam htio dodati sažetiju verziju dokaza koji je dao Macro, tako da je lakše vidjeti što se događa. $ \ newcommand {\ Cov} {\ text {Cov}} \ newcommand {\ Var} {\ text {Var}} $

Primijetite da je, budući da je $ \ Var (X) = \ Cov (X, X) $

Za bilo koje dvije slučajne varijable $ X, Y $ imamo:

\ begin {align} \ Var (X + Y) & = \ Cov (X + Y , X + Y) \\ & = E ((X + Y) ^ 2) -E (X + Y) E (X + Y) \\ & \ text {proširivanjem,} \\ & = E (X ^ 2) - (E (X)) ^ 2 + E (Y ^ 2) - (E (Y)) ^ 2 + 2 (E (XY) - E (X) E (Y)) \\ & = \ Var (X) + \ Var (Y) + 2 (E (XY)) - E (X) E (Y)) \\\ end {align} Stoga općenito, varijanca zbroja dviju slučajnih varijabli nije zbroj varijanci. Međutim, ako su $ X, Y $ neovisni, tada je $ E (XY) = E (X) E (Y) $ i imamo $ \ Var (X + Y) = \ Var (X) + \ Var (Y ) $.

Primijetite da možemo dobiti rezultat za zbroj $ n $ slučajnih varijabli jednostavnom indukcijom.

Abe
2012-06-27 03:45:55 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Da, ako su svaki par $ X_i $ nepovezani, to je istina.

Pogledajte objašnjenje na Wikipediji

Slažem se.Jednostavno (r) objašnjenje možete pronaći i na [Insight Things] (http://www.insight-things.com/why-you-can-add-variances).


Ova pitanja su automatski prevedena s engleskog jezika.Izvorni sadržaj dostupan je na stackexchange-u, što zahvaljujemo na cc by-sa 3.0 licenci pod kojom se distribuira.
Loading...