Pitanje:
Zašto je zbroj dvije slučajne varijable konvolucija?
Carl
2018-03-06 15:46:18 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Dugo nisam shvaćao zašto je "zbroj" dviju slučajnih varijabli njihova konvolucija, dok je zbroj funkcije gustoće smjese od $ f ( x) $ i $ g (x) $ je $ p \, f (x) + (1 -p) g (x) $ ; aritmetički zbroj, a ne njihova konvolucija. Točna fraza "zbroj dviju slučajnih varijabli" pojavljuje se u googleu 146 000 puta i eliptična je kako slijedi. Ako netko smatra da RV daje jednu vrijednost, tada se ta pojedinačna vrijednost može dodati drugoj RV jednoj vrijednosti, koja nema nikakve veze sa konvolucijom, barem ne izravno, sve što je zbroj dva broja. Ishod RV-a u statistici je, međutim, skup vrijednosti i stoga bi preciznija fraza bila nešto poput "skup koordiniranih zbrojeva parova pridruženih pojedinačnih vrijednosti iz dva RV-a njihova je diskretna konvolucija" ... konvolacija funkcija gustoće koja odgovara onim RV-ima. Još jednostavniji jezik: 2 RV-a od $ n $ -uzorka zapravo su dva n-dimenzionalna vektora koja se dodaju kao njihov vektorski zbroj.

Molimo prikažite detalje kako su zbroj dviju slučajnih varijabli konvolucija i zbroj.

Evo vizualizacije na youtubeu: https://www.youtube.com/watch?v=Ma0YONjMZLI&feature=youtu.be
Ovo pitanje donekle može duplicirati postojeće [Zašto konvolucija funkcionira?] (Https://stats.stackexchange.com/questions/124085/why-does-convolution-work/)
@Silverfish Za rečenicu "Zlato je rijetko" postavlja se pitanje "Što je zlato?"bi imalo malo veze s "Kako to misliš," rijetko "?"
Ovo će možda biti lakše intuitivno ako pogledate zbroj 100 ili 1000 RV-ova.nešto se približava određenom nečemu
Ne vjerujem zapravo da je to 'zbroj' u * apstraktnom algebarskom * smislu.Kada napravimo 'zbroj varijabli', tada se pozivamo na tipičnu aritmetičku operaciju kakvu poznajemo prilikom dodavanja prirodnih brojeva ili stvarnih brojeva.To znači da novu varijablu izrađujemo dodavanjem ostalih varijabli.Pojam 'zbroja varijabli' postoji i izvan područja statistike i neovisan je o izrazima o konvolucijama i vjerojatnostima.Dakle, doista je 'zbroj varijabli * zamotak', pogrešno.Ali to nitko ne implicira.U toj bismo izjavi trebali promijeniti riječ 'je'.
To je poput argumentacije da $ f (x) \ cdot g (x) $ ne bi trebalo nazivati 'proizvodom dviju funkcija f i g' (ili ga tumačiti samo kao neki apstraktni algebarski pojam 'proizvoda') jer je konvolucijau smislu Fourierovih transformacija tih funkcija.
$ a \ neq $ zbroj varijabli, već algebarski zbroj slučajnih varijabli, koji je definiran kao operacija putem njihove konvolucije.
"Obavijest" je obmanjujuća.Zbroj slučajnih varijabli $ X $ i $ Y $ znači se u potpuno istom smislu "školarci" razumiju školarce: za svaki $ \ omega $ vrijednost $ (X + Y) (\ omega) $ pronalazidodajući brojeve $ X (\ omega) $ i $ Y (\ omega). $ Nema tu ništa apstraktno.Ovi RV-ovi imaju * distribucije. * Postoji mnogo načina za predstavljanje distribucija.Funkcija distribucije $ X + Y $ je * konvolucija * DF-a od $ X $ i $ Y $;karakteristična funkcija $ X + Y $ je * proizvod * njihovih CF;funkcija generiranja kumulanta od $ X + Y $ je * zbroj * njihovih CGF-ova;i tako dalje.
@whuber Objasnite ovo, molim vas: $ \ text {ListConvolve} \ left [\ left \ {x_1, x_2 \ right \}, \ left \ {y_1, y_2, y_3 \ right \} \ right] == \ left \ {x_2y_1 + x_1 y_2, x_2 y_2 + x_1 y_3 \ desno \} $, dok $ \ lijevo \ {x_1, x_2 \ desno \} + \ lijevo \ {y_1, y_2, y_3 \ desno \} $ nije definirano kao $ 2 \Dodavanje matrice times1 $ i $ 3 \ times1 $ nije definirano.
Ne vidim niti slučajne varijable ni raspodjele u vašem izračunu.
@whuber Pogledajte komentar za Ilmarija Karonena neposredno ispod njegova posta za primjer vjerojatnosti konvolucije funkcije mase.
Obavijest o @whuber izbrisana.Kada pišete $ X + Y $, mislite li na $ \ Sigma_ {i = 1} ^ n \ lijevo (X_i + Y_i \ desno) $?
@Carl: Ne, ne zna.To nije ono što je zbroj dviju slučajnih varijabli.Pokušao sam objasniti u svom odgovoru.
Na jeziku mog posta na https://stats.stackexchange.com/a/54894/919, par slučajnih varijabli $ (X, Y) $ sastoji se od kutije s ulaznicama na kojoj su napisana dva broja,jedan je označio $ X $, a drugi $ Y. $ Zbroj ovih slučajnih varijabli dobiva se zbrajanjem dva broja koja se nalaze na svakoj listiću.Računanje je doslovno zadatak koji biste mogli dodijeliti učionici trećeg razreda.(Naglašavam ovo kako bih naglasio i temeljnu jednostavnost operacije, kao i pokazao koliko je čvrsto povezan sa onim što svi podrazumijevaju pod "zbrojem".)
@whuber Vaš je jedini odlomak pomogao više od dugih odgovora u nastavku - nevjerojatno!Volio bih da to bude doslovno samo kopirano u odgovor, ali za sada podržavajući komentar kako bi ga budući čitatelji mogli uočiti.
@Yatharth OK, napravio sam copy-paste i zatim malo proširio odgovor.Hvala vam na poticaju.
@MartijnWeterings U odgovarajućem matematičkom jeziku u ovom kontekstu "zbroj" znači ** $ n $ -prostor dodavanja vektora **.Nažalost, statistički zapisi i jezik često iznova pronalaze koncepte koji su bolje razvijeni drugdje.Konkretno, RV-ovi bi bili podskup podskupina vektorskih vrsta negdje drugdje, a pravila za manipulaciju s njima puno su bolje dokumentirana negdje drugdje.
@Carl 'zbroj dviju varijabli' znači zbroj na isti način kao što biste zajedno zbrojili brojeve dviju kockica.Čini se da ste vi ti koji izmišljate 'vektor n-prostora'.Nikad prije nisam čuo za to u ovom kontekstu.Samo miješate previše pojmova kao što sam već objasnio u komentarima pod odgovorom.
@MartijnWeterings Osnovni koncept je da se ishodi upare i dodaju parovi.Tako se dodaju $ n $ -prostorni vektori, jer je svaka od $ n $ dimenzija međusobno pravokutna, što znači da je jedini dodatak koji se može dogoditi unutar svake dimenzije.Mnogo je vrlo korisnih pravila za manipuliranje vektorima, na pr.duljina vektora je srednji kvadrat, vektori imaju točke i križne proizvode, itd. Učenje je bolje od prigovaranja zbog neznanja i neznanja nije počasna značka koju vrijedi prikazati.
Deset odgovori:
Sextus Empiricus
2018-03-06 16:42:36 UTC
view on stackexchange narkive permalink

#Notation, velika i mala slova

https://en.wikipedia.org/wiki/Notation_in_probability_and_statistics

  • Slučajne varijable obično se zapisuju velikim slovima rimskim slovima: $ X $ , $ Y $ , itd.
  • Određene realizacije slučajne varijable napisane su odgovarajućim malim slovima. Na primjer, $ x_1 $ , $ x_2 $ , ..., $ x_n $ može biti uzorak koji odgovara slučajnoj varijabli $ X $ , a kumulativna vjerojatnost je formalno napisana $ P (X > x) $ za razlikovanje slučajne varijable od realizacije.

$ Z = X + Y $ znači $ z_i = x_i + y_i \ qquad \ forall x_i, y_i $


#Miješavina varijabli -> zbroj pdf-a

https://en.wikipedia.org/wiki/Mixture_distribution

Koristite zbroj funkcija gustoće vjerojatnosti $ f_ {X_1} $ i $ f_ {X_2} $ kada je vjerojatnost (recimo Z) definirana a single zbrojem različitih vjerojatnosti.

Na primjer kada je $ Z $ razlomak $ s $ vremena definiranog s $ X_1 $ i djelić $ 1-s $ vremena definiranog $ X_2 $ , tada ćete dobiti $$ \ mathbb {P} (Z = z) = s \ mathbb {P} (X_1 = z) + (1- s) \ mathbb {P} (X_2 = z) $$ i $$ f_Z (z) = s f_ {X_1} (z) + (1-s) f_ {X_2} (z) $$

. . . . primjer je izbor između bacanja kockica s 6-straničnom ili 12-stranskom kockom. Recimo da 50-50 posto vremena radite jednom ili drugom kockom. Tada je $$ f_ {miješani kolut} (z) = 0,5 \, f_ {6-sided} (z) + 0,5 \, f_ {12-sided} (z) $$


# Zbir varijabli -> konvolucija pdf-a

https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution_of_probability_distributions

Koristite konvoluciju funkcija gustoće vjerojatnosti $ f_ {X_1} $ i $ f_ {X_2} $ kada je vjerojatnost (recimo Z) definirana multiple zbrojevima različitih (neovisnih) vjerojatnosti.

Na primjer kada $ Z = X_1 + X_2 $ (tj. zbroj!) i više različitih parova $ x_1, x_2 $ zbroj do $ z $ , sa svakom vjerojatnosti $ f_ {X_1} ( x_1) f_ {X_2} (x_2) $ . Tada dobivate konvoluciju $$ \ mathbb {P} (Z = z) = \ sum _ {\ text {svi parovi} x_1 + x_2 = z} \ mathbb {P} (X_1 = x_1) \ cdot \ mathbb {P} (X_2 = x_2) $$

i $$ f_Z (z) = \ sum_ {x_1 \ in \ text {domena} X_1} f_ {X_1} (x_1) f_ {X_2} (z-x_1 ) $$

ili za kontinuirane varijable

$$ f_Z (z) = \ int_ {x_1 \ in \ text {domena} X_1} f_ {X_1} (x_1) f_ {X_2} (z-x_1) d x_1 $$

. . . . primjer je zbroj dviju kockica $ f_ {X_2} (x) = f_ {X_1} (x) = 1/6 $ za $ x \ in \ lbrace 1,2,3,4,5,6 \ rbrace $ i $$ f_Z (z) = \ sum_ { x \ in \ lbrace 1,2,3,4,5,6 \ rbrace \\ \ text {i} zx \ in \ lbrace 1,2,3,4,5,6 \ rbrace} f_ {X_1} (x ) f_ {X_2} (zx) $$

napomena Odlučio sam integrirati i zbrojiti $ x_1 \ u \ text {domenu} X_1 $ , što smatram intuitivnijim, ali nije potrebno i možete integrirati od $ - \ infty $ do $ \ infty $ ako definirate $ f_ {X_1} (x_1) = 0 $ izvan domene.

# Primjer slike

example of 'sum of variables' resulting in 'convolution of pdfs'

Neka $ Z $ bude $ X + Y $ . Da biste znali $ \ mathbb {P} (z- \ frac {1} {2} dz<Z<z + \ frac {1} {2} dz) $ , morate integrirati preko vjerojatnosti za sve realizacije $ x, y $ koje vode do $ z- \ frac {1} {2 } dz<Z = X + Y<z + \ frac {1} {2} dz $ .

Dakle, to je integral $ f (x) g (y) $ u regiji $ \ pm \ frac {1} {2} dz $ duž crte $ x + y = z $ .

Najbolje objašnjenje do sada.Hoćete li biti ljubazni da uključite i kontinuirane definicije, molim vas?
Pa, u redu, mislim.Mislim da je ovo samo zbroj u smislu zbrajanja svakog različito inkrementalnog ili pojedinačnog podatka jedne varijable u cijelom rasponu druge.Odnosno, puno je svota.
Nema potrebe, znam kako se najviše saviti.Jednostavno sam imao problema s razumijevanjem žargonske upotrebe riječi "zbroj".To je, u najboljem slučaju, zbroj iznosa.Moja bi preferencija bila reći da se slučajne varijable *** kombiniraju *** konvolucijom.
@Carl nije žargonski.Konvolucija se doista može promatrati kao zbroj mnogih iznosa.Ali, to nije ono na što se odnosi * 'zbroj varijabli' *.Odnosi se na takve stvari kao kad govorimo o 'zbroju dvije bacanja kockica', što ima sasvim normalno značenje i tumačenje u svakodnevnom životu (posebno kada igramo društvenu igru).Želite li reći da uzimamo kombinaciju dva bacanja kockica kada koristimo algebarski zbroj dva bacanja kockica?
zapravo je konvolucija zbroj mnogih proizvoda, ali to je osim smisla
U diskretnom slučaju dodajemo svaku pojedinu kombinaciju tih varijabli zar ne?Ili mi nešto nedostaje?
Vjerojatnost bacanja 7 s ** (jednim) zbrojem ** dviju kockica je ** zbroj (mnogih) ** vjerojatnosti za bacanje 1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2, 6-1.Pojam zbroj pojavljuje se * dva * puta, a u prvom slučaju, kada se odnosi na jedan izraz zbrajanja, na to se odnosi izraz "zbroj dviju varijabli", kao u "zbroj dviju kocka"
U kontinuiranom slučaju natezanje je nazvati konvoluciju ** integralnom ** zbrojem.U smislu [Riemann Integral] (http://mathworld.wolfram.com/RiemannIntegral.html) izvodimo beskonačno zbrajanje proizvoda.To nije jednostavna svota.Čak i u diskretnom slučaju, bilo bi bolje reći da se slučajne varijable kombiniraju iscrpnim zbrajanjem proizvoda.Prema mom načinu razmišljanja, "iscrpan zbroj proizvoda" $ \ neq $ "zbroj."
Zapravo, integral zamjenjuje zbroj vjerojatnosti.Ali, to se odnosi na * drugu * upotrebu pojma zbroj, a ne na * prvu * upotrebu pojma zbroj.Dakle, još uvijek se možemo pozivati na zbroj dviju varijabli (što je prva upotreba pojma).To je zato što se izraz 'zbroj' ne koristi za označavanje operacije konvolacije ili operacije zbrajanja vjerojatnosti, već za zbrajanje varijabli.
Jedini način da shvatimo što znači prva upotreba riječi "zbroj" jest značenje i struktura naslijeđena iz izvršene konvolucije.Za mene je to žargoneska, tj. Zbroj: = konvolucija, a ne obična aritmetika koja.
barem nije žargonski reći "gustoća vjerojatnosti za zbroj kockica definirana je konvolucijom gustoća vjerojatnosti za pojedinačne kockice kockica".Izraz 'zbroj kockica' ima sasvim normalno tumačenje u svakodnevnom životu kad u blizini nema statističara sa njihovim žargonom.U tom smislu (zbroj bacanja kockica) trebate protumačiti (zbroj varijabli).Ovaj korak nije ni žargonski.Ljudi se cijelo vrijeme koriste 'zbrojevima varijabli'.Tek statističar razmišlja o vjerojatnostima za ove iznose i počinje primjenjivati konvolucije
Mislim da bi bilo lijepo istaknuti u mješavini varijabli da je $ Z = UX_1 + (1-U) X_2 $ s $ U \ sim \ mathcal {B} (p) $.Da vidimo kako se to razlikuje od stvarne svote.
Za lance Skriveni Markov ili koncentracije lijeka u krvnoj plazmi koristila bi se jednovarijantna raspodjela ponderirane sume (-a) raspodjele, a ne samih slučajnih varijabli.
"U kontinuiranom slučaju, natezanje je konvolucijskim integralom nazvati zbrojem."I to nitko ne predlaže ...
@Pakk Zapravo postoje najmanje tri načina za razumijevanje konvolucijskih integrala: međusobno isključujuće Fourierove i Laplaceove transformacije / inverzne transformacije ili stvarni prostor [ograničavajući Riemannov zbroj] (https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sum#Connection_with_integration) liječenje, koje potonje preferiram upravo zato što nije složeno područje i što ga je lakše razumjeti.
@Carl, ako želite, možete razmotriti općenitiji slučaj na mojoj konačnoj slici koja prikazuje zajedničku raspodjelu $ X $ i $ Y $ i tražiti raspodjelu $ Z = f (X, Y) $, tj. Varijable kojaje neka funkcija dvoje.Ako je $ f $ kontinuirana funkcija, to možete riješiti integralom ([distribucije proizvoda] (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Product_distribution) i [raspodjele odnosa] $ Z = XY $ (https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution) $ Z = X / Y $ su primjeri).Ako je $ f $ zbroj, tada ovaj integral postaje konvolucija.Izraz 'zbroj' odnosi se na ovaj oblik funkcije $ f $
@Carl: Mislim da ste pogrešno razumjeli moju izjavu.Govorili ste da nije dobro nazvati integral konvolucije zbrojem, podrazumijevajući da netko konvoluciju integralom naziva zbrojem.Ali ovdje nitko to ne govori.Rečeno je da je konvolucijski integral pdf zbroja određenih varijabli.Mijenjali ste izjavu u nešto lažno, a onda ste se požalili da je netačan.
@Pakk "integral konvolacije je pdf zbroja određenih varijabli" nažalost, čini se da to nije točno.Pretpostavimo da mi savijamo $ \ text {pdf} _1 * \ text {pdf} _2 = \ text {pdf} _3 $, a zatim u nekoj neovisnoj točki osi $ x_k $ funkcionalna vrijednost $ \ text {pdf} _3 (x_k) $je procijenjeni (konvolucijski) integral u toj točki.Taj je integral samo zbroj u Riemannovom smislu da su svi integrali beskonačni zbrojevi.
@Pakk Mislite li na nešto poput "konvolucija napisana kao kontinuirana funkcija model je za diskretne uparene sume diskretnih slučajnih varijabli", ili "diskretna konvolucija je diskretni upareni zbroj diskretne slučajne varijable" ili nešto treće?
@Carl: Opet, nikad nisam rekao da je integral zbroj.Izbaci to iz glave.Nitko to nije rekao.Nitko ne tvrdi da je integral zbroj, pa ne morate tvrditi da nije.
@Carl: Ono što sam rekao bilo je: "Rekao sam:" Integral konvolacije je pdf zbroja određenih varijabli ". Ako je $ f_x $ pdf od $ X $, a $ f_y $ je pdf od $ Y $, tada$ f_x * f_y $ je pdf od $ (X + Y) $. To nema nikakve veze s pojmom da je integral u nekom smislu ograničenje suma.
@Pakk Da, i netočno je.Optimistički gledano, konvolucijski integral je model za koji se često pretpostavlja da je model zbroja slučajnih varijabli u klasičnom smislu da su slučajne varijable diskretne stvarne vrijednosti, tj. Funkcije koje se mogu popisati.Problem koji imate je što pdf-ovi nisu pmf-ovi i brkate ih, kažete da pdf "jest" pmf, a nije.
@Carl: Čitaš stvari koje nikad nisam napisao.Nikad nisam ni spomenuo pmf-ove.Opet napadate stvari koje nitko nije rekao.Ne radi to, beskorisno je.(Ovo ne znači da zvuči tako iznervirano, iako shvaćam da se to može tako pojaviti. Vidim da istinski pokušavate steći bolji osjećaj za to, i stvarno bih volio pomoći u ovome, ali čini mi se kaosami ste sebi prepreka, jer ne čitate točno.)
Dopustite nam [nastaviti ovu raspravu u chatu] (https://chat.stackexchange.com/rooms/89907/discussion-between-carl-and-pakk).
@Carl možeš li ovdje zaustaviti gluposti koje pišeš.Vratite se na zbrku u svom postu od 6. ožujka * "žargonske upotrebe riječi" zbroj ". To je, u najboljem slučaju, zbroj suma" *.Besmisleno je raspravljati o razlici između integracije ili zbrajanja.Ovo razmatranje integrala kao Riemannovih suma * nije * ono na što se izraz 'zbroj' odnosi u frazi 'zbroj dviju slučajnih varijabli'.Prestanite se boriti protiv nečega što to nije.Izjava * "konvolucija je zbroj slučajnih varijabli" *, koju smatrate zavaravajućom, vaša je vlastita izjava, nitko osim vas ne predlaže ovu izjavu.
Ne slažem se s tobom.Stranica za razgovor na Wikipediji o [slučajnim varijablama] (https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Random_variable#Definition_is_not_correct) ima brojne komentare da PDF-ovi nisu slučajni u bilo kojem smislu riječi slučajni.Zbunjenost s kojom sam se suočio objavljujući ovaj post bila je upravo to.Podržavam @whuber's definiciju slučajnih varijabli, one su diskretne, a ne kontinuirane.Ako mislite drugačije, navedite fizički primjer.
Carl, nastavljaš dalje, ali to je nebitno.Izraz "zbroj" u "zbroju slučajnih varijabli" odnosi se na nešto drugo osim na integralnu operaciju ili konvoluciju.Zbroj varijabli * nije * jednak konvoluciji, u doslovnom smislu.
@Carl: Whuber napisao je izvrstan odgovor.Ali taj odgovor slučajne varijable ne definira kao (isključivo) diskretne.I pored toga: nebitno je!Whuber je pokazao da 'zbroj' znači upravo ono što uvijek znači!Ne mogu razumjeti da ste zanemarili dio u kojem je on odgovorio na vaše pitanje i sjetili se dijela koji nije ni napisao!
Ilmari Karonen
2018-03-07 06:39:01 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Čini se da vaša zbrka nastaje povezivanjem slučajnih varijabli s njihovim raspodjelama.

Da biste "odznali" ovu zbrku, moglo bi vam pomoći da napravite nekoliko koraka unatrag, ispraznite um na trenutak, zaboravite na bilo kakve modne formalizme poput prostora vjerojatnosti i sigma-algebri (ako pomogne, pretvarajte se da ste se vratili u osnovnoj školi i nikada nisam čuo ni za jednu od tih stvari!) i samo razmislite o tome što slučajna varijabla u osnovi predstavlja: a broj u čiju vrijednost nismo sigurni.

Na primjer, recimo da u ruci imam šestostrani kalup. (Stvarno imam. Zapravo ih imam cijelu vreću.) Još je nisam zakotrljao, ali sprema se i odlučim nazvati broj koji još nisam valjao na toj kockici imenom "$ X $".

Što mogu reći o ovom $ X $, a da zapravo ne kotrljam matricu i ne određujem njezinu vrijednost? Pa, mogu reći da njegova vrijednost neće biti $ 7 $, ili $ -1 $, ili $ \ frac12 $. U stvari, sa sigurnošću mogu reći da će to biti cijeli broj između 1 i 6 dolara, uključujući to, jer su to jedini brojevi koji su označeni na kockici. A budući da sam ovu vrećicu kockica kupio od renomiranog proizvođača, mogu biti prilično siguran da će, kad zakotrljam kockicu i utvrdim koji je zapravo iznos od $ X $, jednako vjerojatno biti bilo koja od tih šest mogućih vrijednosti ili što bliža na to kako mogu odrediti.

Drugim riječima, moj $ X $ cjelobrojna je slučajna varijabla jednoliko raspoređena po skupu $ \ {1,2,3,4,5,6 \} $.


U redu, ali sigurno je sve očito, pa zašto se neprestano mučim s tako trivijalnim stvarima koje sigurno već znate? To je zato što želim istaknuti još jednu točku, koja je ujedno i trivijalna, istovremeno presudno važna: I može računati s ovih $ X $, čak i ako još ne znam njegovu vrijednost!

Na primjer, mogu odlučiti dodati jedan na broj $ X $ koji ću namotati na matricu i nazvati taj broj imenom "$ Q $". Neću znati koji će biti ovaj $ Q $, jer ne znam koliki će biti $ X $ dok ne izvalim kockicu, ali svejedno mogu reći da će $ Q $ biti jedan veći od $ X $, ili u matematičkom smislu, $ Q = X + 1 $.

I ovaj $ Q $ bit će također slučajna varijabla, jer još ne znam njegovu vrijednost; Samo znam da će to biti jedan veći od $ X $. A budući da znam koje vrijednosti $ X $ može zauzeti i koliko je vjerojatno da će uzeti svaku od tih vrijednosti, mogu te stvari odrediti i za $ Q $. A možete i vi, dovoljno lako. Neće vam zapravo trebati nikakvi otmjeni formalizmi ili proračuni da biste shvatili da će $ Q $ biti cijeli broj između 2 $ i 7 $, i da je to jednako vjerojatno (pod pretpostavkom da je moja kocka poštena i dobro uravnotežena kao što mislim je) uzeti bilo koju od tih vrijednosti.

Ali ima još toga! Jednako bih se mogao odlučiti da, recimo, pomnožim broj $ X $ koji ću namotati na matricu sa tri, a rezultat pozovem $ R = 3X $. A to je još jedna slučajna varijabla i siguran sam da možete shvatiti i njezinu raspodjelu, bez potrebe za pribjegavanjem bilo kakvim integralima ili konvolucijama ili apstraktnoj algebri.

A ako bih stvarno želio, mogao bih čak odlučiti uzeti još uvijek utvrđeni broj $ X $ i ga preklopiti, vretenati i unakažiti podijeliti s dva, oduzeti jedan od to i kvadrat rezultat. A dobiveni broj $ S = (\ frac12 X - 1) ^ 2 $ je još jedna slučajna varijabla; ovaj put neće biti niti cjelobrojna niti jednoliko raspodijeljena, ali svejedno možete shvatiti njezinu raspodjelu koristeći samo elementarnu logiku i aritmetiku.


U redu, tako da mogu definirati nove slučajne varijable uključivanjem svoje nepoznate kockice $ X $ u razne jednadžbe. Pa što? Pa, sjećate se kad sam rekao da imam cijelu vreću kockica? Dopustite mi da uzmem još jedan i nazovem broj na koji ću se valjati koji umrijeti imenom "$ Y $".

Te dvije kockice koje sam dohvatio iz torbe prilično su identične - ako ste ih zamijenili kad nisam gledao, ne bih mogao znati - pa mogu sasvim sigurno pretpostaviti da će i ovaj $ Y $ imati jednaka raspodjela kao $ X $. Ali ono što stvarno želim je roll obje kockice i izbrojati ukupan broj kockica na svakoj od njih. A taj ukupan broj pipova, koji je također slučajna varijabla budući da to još ne znam , nazvat ću "$ T $".

Koliki će biti ovaj broj $ T $? Pa, ako je $ X $ broj pipova koje ću baciti na prvom kalupu, a $ Y $ je broj pipova koje ću baciti na drugom kalupu, tada će $ T $ očito biti njihov zbroj, tj. $ T = X + Y $. I mogu reći da, budući da su $ X $ i $ Y $ između jedan i šest, $ T $ moraju biti najmanje dva, a najviše dvanaest. A budući da su $ X $ i $ Y $ oba cijela broja, $ T $ očito mora biti i cijeli broj.


No, koliko je vjerojatno da $ T $ uzme svaku od svojih mogućih vrijednosti između dvije i dvanaest? Definitivno nije jednako vjerojatno da ćete uzeti svakog od njih - malo eksperimentiranja otkrit će da je puno teže baciti dvanaesticu na par kockica nego baciti kockice , recimo, sedam.

Da bih to shvatio, dopustite mi da označim vjerojatnost da ću broj $ a $ zakotrljati na prvom kalupu (onom čiji sam rezultat odlučio nazvati $ X $) izrazom $ \ Pr [X = a ] $. Slično tome, označit ću vjerojatnost da ću broj $ b $ na drugom kockanju zakotrljati s $ \ Pr [Y = b] $. Naravno, ako su moje kockice savršeno poštene i uravnotežene, tada $ \ Pr [X = a] = \ Pr [Y = b] = \ frac16 $ za bilo koje $ a $ i $ b $ između jedan i šest, ali mogli bismo uzmite u obzir i općenitiji slučaj kada bi kocke mogle biti pristrane i vjerojatnije će baciti neke brojeve od drugih.

Sad, budući da će dva valjka za kockanje biti neovisna (zasigurno ne planiram varati i prilagođavati jedan od njih na temelju drugog!), vjerojatnost da ću baciti $ a $ na prvu kockicu i $ b $ na drugom jednostavno će biti umnožak tih vjerojatnosti: $$ \ Pr [X = a \ text {i} Y = b] = \ Pr [X = a] \ Pr [Y = b]. $$

(Imajte na umu da gornja formula vrijedi samo za neovisne parove slučajnih varijabli; zasigurno ne bi vrijedila kad bismo $ Y $ iznad zamijenili, recimo, $ Q $!) >

Sada postoji nekoliko mogućih vrijednosti $ X $ i $ Y $ koje bi mogle dovesti do istih ukupnih $ T $; na primjer, $ T = 4 $ može nastati jednako dobro iz $ X = 1 $ i $ Y = 3 $ kao iz $ X = 2 $ i $ Y = 2 $, ili čak iz $ X = 3 $ i $ Y = 1 $. Ali da sam već zakotrljao prvu kocku i znao vrijednost od $ X $, tada bih mogao točno reći koju bih vrijednost morao valjati na drugoj kockici da bih postigao bilo koji zadani broj pips.

Konkretno, recimo da nas zanima vjerojatnost da je $ T = c $, za neki broj $ c $. E sad, ako znam nakon valjanja prvog kalupa da je $ X = a $, tada bih mogao dobiti ukupni $ T = c $ samo valjanjem $ Y = c - a $ na drugom kalupu. I naravno, već znamo, bez bacanja ikakvih kockica, da je a priori vjerojatnost bacanja $ a $ na prvu kockicu i $ c - a $ na drugu kockicu $$ \ Pr [X = a \ text {i} Y = ca] = \ Pr [X = a] \ Pr [Y = ca]. $$

Ali naravno, postoji nekoliko mogućih načina da dosegnem isti ukupni $ c $, ovisno o tome što ću na kraju valjati na prvoj kockici. Da bih dobio ukupnu vjerojatnost $ \ Pr [T = c] $ kotrljanja $ c $ pipsa na dvije kockice, moram zbrojiti vjerojatnosti svih različitih načina na koje bih mogao baciti taj ukupan rezultat. Na primjer, ukupna vjerojatnost da ću na dvije kockice baciti ukupno 4 pipa bit će: $$ \ Pr [T = 4] = \ Pr [X = 1] \ Pr [Y = 3] + \ Pr [X = 2] \ Pr [Y = 2] + \ Pr [X = 3] \ Pr [Y = 1] + \ Pr [X = 4] \ Pr [Y = 0] + \ točkice $$

Imajte na umu da sam malo pretjerao s gornjim zbrojem: sigurno $ Y $ nikako ne može biti 0 $! Ali matematički to nije problem; samo trebamo definirati vjerojatnost nemogućih događaja poput $ Y = 0 $ (ili $ Y = 7 $ ili $ Y = -1 $ ili $ Y = \ frac12 $) kao nulu. I na taj način dobivamo generičku formulu za raspodjelu zbroja dva valjka (ili, općenito, bilo koje dvije neovisne slučajne varijable s cijelim brojem):

$$ T = X + Y \ implicira \ Pr [T = c] = \ sum_ {a \ in \ mathbb Z} \ Pr [X = a] \ Pr [Y = c - a]. $$


I savršeno bih mogao ovdje zaustaviti svoje izlaganje, a da uopće ne spominjem riječ "konvolucija"! Ali naravno, ako slučajno znate kako izgleda diskretna konvolucija, možete je prepoznati u gornjoj formuli. I to je jedan prilično napredan način navođenja elementarnog rezultata izvedenog gore: funkcija mase vjerojatnosti zbroja dvije slučajne varijable s cijelom vrijednošću je diskretna konvolacija funkcija mase mase vjerojatnosti sabiraka.

I naravno, zamjenom zbroja s integralnom i masom vjerojatnosti s gustoćom vjerojatnosti, dobivamo analogni rezultat i za kontinuirano distribuirane slučajne varijable. A dovoljnim rastezanjem definicije konvolucije, možemo je čak primijeniti i na sve slučajne varijable, bez obzira na njihovu distribuciju - iako u tom trenutku formula postaje gotovo tautologija, budući da ćemo imati prilično mnogo što je definiralo konvoluciju dvije proizvoljne raspodjele vjerojatnosti kao raspodjelu zbroja dviju neovisnih slučajnih varijabli s tim raspodjelama.

No, bez obzira na to, sve su ove stvari sa konvolucijama i distribucijama te PMF-ovima i PDF-ovima zapravo samo skup alata za izračunavanje stvari o slučajnim varijablama. Temeljni objekti o kojima izračunavamo o jesu same slučajne varijable, koje su stvarno samo numbers čije vrijednosti nismo sigurni u.

A osim toga, taj trik za konvoluciju ionako djeluje samo za zbrojeve slučajnih varijabli. Ako biste željeli znati, recimo, raspodjelu $ U = XY $ ili $ V = X ^ Y $, morali biste to shvatiti pomoću elementarnih metoda, a rezultat ne bi bio konvolucija.


Addendum: Ako želite generičku formulu za izračunavanje raspodjele zbroja / proizvoda / eksponencijalne / bilo koje kombinacije dviju slučajnih varijabli, evo jednog načina za pisanje jedne: $$ A = B \ odot C \ implicira \ Pr [A = a] = \ sum_ {b, c} \ Pr [B = b \ text {i} C = c] [a = b \ odot c], $$ gdje $ \ odot $ znači proizvoljno binarna operacija i $ [a = b \ odot c] $ je Iversonova zagrada, tj. $$ [a = b \ odot c] = \ begin {cases} 1 & \ text {if} a = b \ odot c, \ text {i} \\ 0 & \ text {inače}. \ end {slučajevi} $$

(Generaliziranje ove formule za nediskretne slučajne varijable ostavljeno je kao vježba u uglavnom besmislenom formalizmu. Diskretni je slučaj sasvim dovoljan da ilustrira bitnu ideju, a nediskretni slučaj samo dodaje hrpu nebitnih komplikacija.)

Možete se uvjeriti da ova formula doista djeluje, npr. za zbrajanje i da je, za poseban slučaj dodavanja dvije neovisne slučajne varijable, ekvivalent prethodno dodanoj formuli "konvolucije".

Naravno, u praksi je ova općenita formula puno manje korisna za izračunavanje, jer uključuje zbroj preko dvije neograničene varijable umjesto samo jedne. No, za razliku od formule s jednim zbrojem, ona radi za proizvoljne funkcije dviju slučajnih varijabli, čak i one koje nisu invertibilne, a također eksplicitno prikazuje operaciju $ \ odot $, umjesto da je prikrije kao svoju inverznu (poput formule "konvolucija" maskira zbrajanje kao oduzimanje).


Ps. Upravo sam bacio kockice. Ispada da su $ X = 5 $ i $ Y = 6 $, što implicira da je $ Q = 6 $, $ R = 15 $, $ S = 2.25 $, $ T = 11 $, $ U = 30 $ i $ V = 15625 $. Sada znaš. ;-)

Ovo bi trebao biti prihvaćen odgovor!Vrlo intuitivno i jasno!
(+) 1 za vaš promišljen jednostavan doprinos, prilično truda i poštujem ga.Međutim, zbroj zajedničkih (neovisnih proizvoda) vjerojatnosti kao što je $ \ Pr [T = 4] = \ Pr [X = 1] \ Pr [Y = 3] + \ Pr [X = 2] \ Pr [Y = 2] + \ Pr [X = 3] \ Pr [Y = 1] $ nije jednostavan zbroj, to je "zbroj iscrpnog pravila (mogućih) proizvoda".Pretpostavljam da biste mogli nazvati tu operaciju $ \ oplus $, ali $ \ otimes $ bi se češće koristio za konvoluciju, ali ono što nije je uparivanje dva broja koja se nazivaju $ + $.Naravno, mi to zovemo $ + $, ali inzistiram da je to apstrakcija.
@Carl: Poenta koju pokušavam istaknuti je da je zbroj * slučajnih varijabli * doista jednostavan zbroj: $ T = X + Y $.Ako želimo izračunati * raspodjelu * $ T $, tada ćemo morati poduzeti nešto složenije, ali to je sekundarno pitanje.Slučajna varijabla nije njena raspodjela.(Zapravo, slučajna varijabla nije ni u potpunosti okarakterizirana svojom raspodjelom, jer sama (marginalna) raspodjela ne kodira podatke o njezinim mogućim ovisnostima s drugim varijablama.)
@Carl: ... U svakom slučaju, ako ste željeli uvesti poseban simbol za "dodavanje slučajnih varijabli", za dosljednost biste trebali imati i posebne simbole za "množenje slučajnih varijabli" i "podjelu slučajnih varijabli" i "potenciranjeslučajnih varijabli "i" logaritam slučajnih varijabli "i tako dalje.Sve su te operacije savršeno dobro definirane * na slučajnim varijablama, promatraju se kao brojevi s nesigurnom vrijednošću *, ali u svim je slučajevima izračunavanje * raspodjele * rezultata puno više od samog izrade odgovarajućeg izračuna za konstante.
Jedan je problem što je $ + $ posebno zbunjujuće.Ponekad stvarno znači $ + $, kao u skaliranom dodavanju univarijantnih gustoća smjese ili u zbrojevima očekivanja ili varijance, ponekad to znači konvoluciju ili bolju "raspodjelu sume".Nije isti problem za "podjelu" jer bismo vjerojatnije rekli "[raspodjela omjera] (https://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution)" ili kvocijentna raspodjela, što je dobar nagovještaj koji odgovara brojuparovi su nasumično povezani, za razliku od stvarne podjele jedne funkcije drugom pri fiksnim vrijednostima ovisne osi.
@Carl: Zbrka nestaje kad prestanete brkati slučajnu varijablu s njezinom raspodjelom.Uzimanje raspodjele slučajne varijable nije linearna operacija u bilo kojem značajnom smislu, pa raspodjela zbroja dviju slučajnih varijabli (obično) nije zbroj njihovih raspodjela.Ali isto vrijedi i za * bilo koju * nelinearnu operaciju.Sigurno vas ne zbunjuje činjenica da $ \ sqrt {x + y} \ ne \ sqrt x + \ sqrt y $, pa zašto biste bili zbunjeni činjenicom da $ \ Pr [X + Y = c] \ne \ Pr [X = c] + \ Pr [Y = c] $?
Suptilna je razlika između zbunjujuće nomenklature i moje zbunjenosti.Razmotrite raspodjelu ishoda jedne matrice podijeljene s uparenim ponekad različitim rezultatima druge matrice istodobno bačene i pročitane.Mislim da to nitko neće zamijeniti s uobičajenom podjelom.
@Carl: Čekaj, što?Bacim dvije kockice, zapisujem rezultate $ X $ i $ Y $, a zatim izračunavam $ Z = X / Y $.Kako to nije uobičajena podjela?(I da, to je još uvijek uobičajena podjela, čak i ako to napravim * prije nego što bacim kocku. U tom slučaju vrijednosti $ X $ i $ Y $ jednostavno još nisu fiksne, a samim time ni vrijednost $Z $.)
Ne, prosječni ishod mnogih mnogih podjela tijekom vremena u funkciji rezultata prvog umiranja, tj. Empirijske ili teoretske raspodjele količnika.
Dobro napisano objašnjenje.@Carl: Teško je shvatiti kako još uvijek možete pomisliti da je nomenklatura zbunjujuća nakon čitanja ovog odgovora.(Vjerujem da jeste, ali jednostavno je teško razumjeti zašto.) $ X + Y $ je jednostavno dodavanje ... Ako je $ X = 3 $ i $ Y = 4 $, tada je $ X + Y = 7 $.Simbol "$ + $" znači potpuno isto što i ono što ste naučili u osnovnoj školi.Zbog čega mislite da to znači nešto drugo?
@Pakk Obično imamo popise podataka.A ako želite izraziti ono što zapravo radimo kao podatkovne operacije, to bi uključivalo operacije popisa u paru, a ne operacije na jednom podatkovnom paru.Dakle, ne, nemam pojma na što mislite, jer to ne mogu povezati sa stvarnim svijetom na način na koji je to izraženo.
@Carl: Tko smo "mi"?Čini se da postoji puno konteksta koji ne dijelite.Iz vašeg profila vidim da ste nuklearni znanstvenik, pa pretpostavljam da imate na umu vrlo specifičnu primjenu konvolucije.Ali Ilmarijin odgovor daje (po mom mišljenju) savršeno jasno objašnjenje kako konvolucija raspodjela odgovara zbroju slučajnih varijabli.A simbol "$ + $" ovdje ima svoje normalno značenje.Bez znanja zašto mislite da to ima drugačije značenje, nemoguće je ovo bolje objasniti ...
A "operacije popisa u paru", mislite li na konvoluciju zapisanu kao zbroj umnožaka vjerojatnosti?U tom slučaju računate s distribucijama.Ne sa slučajnim varijablama.Svaka konvolucija raspodjela odgovara zbroju određenih slučajnih varijabli, ali može biti da u svom radu te slučajne varijable nikada ne vidite izričito zapisane.
@Pakk "Mi" je samo rezervirano mjesto.Neka podaci postoje na listi u paru.Ja sam nuklearni liječnik (dr. Med.).Moj * korisnik: 99274 konvolucije * pretraživanje ima 16 rezultata.Gornji dodatak sugerira zbroj "i", tj. Zbroj sjecišta.Ne razumijem kako $ \ Sigma (i) \ rightarrow +. \, \, \, \, $ To jest, osim ako se radi o operaciji na upareno povezanim popisima podataka.Na primjer, ako želim vidjeti kako izgleda $ A + B $, generirao bih parove pseudo-slučajnih brojeva, $ A $ i $ B $ zatim povezivao svaki par pomoću zbrajanja.
Ne razumijete kako $ \ sum (i) \ rightarrow + $, ali razumijete li $ + \ rightarrow \ sum (i) $?
@Pakk Napokon razumijem i to je parna operacija na popisima ishoda, kada je operacija nad podacima, i konvolucija kada se izvodi na funkcijama kontinuirane gustoće, pogledajte moj [odgovor] (https://stats.stackexchange.com/a/ 332543/99274).Dakle, dva su procesa u granici ekvivalentna samo $ n \ rightarrow \ infty $, čak i tada pokrivenost mrežom može biti [nepotpuna] (https://stats.stackexchange.com/q/273185/99274).
whuber
2019-02-14 22:10:51 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Izračuni konvolucije povezani s raspodjelom slučajnih varijabli sve su matematičke manifestacije zakona ukupne vjerojatnosti.


Na jeziku mog posta na Što se podrazumijeva pod "slučajnom varijablom"?,

Par slučajnih varijabli $ (X, Y) $ sastoji se od kutije s ulaznicama, na svakoj su napisana dva broja, jedan označen $ X $ , a drugi $ Y $ . Zbroj ovih slučajnih varijabli dobiva se zbrajanjem dva broja koja se nalaze na svakoj listiću.

Sliku takvog okvira i njegovih ulaznica objavio sam na Pojašnjavanje koncepta zbroja slučajnih varijabli.

enter image description here

TOvo računanje doslovno je zadatak koji biste mogli dodijeliti učionici trećeg razreda. (naglašavam ovo kako bih naglasio temeljnu jednostavnost operacije, kao i pokazivanje koliko je čvrsto povezan sa onim što svi razumiju "zbroj" "to znači.)

Kako se matematički izražava zbroj slučajnih varijabli, ovisi o tome kako predstavljate sadržaj okvira:

Prva dva od njih posebna su utoliko što okvir možda nema pmf, pdf ili mgf, ali uvijek ima cdf, cf i cgf.


TDa bismo vidjeli zašto je konvolucija prikladna metoda za izračunavanje pmf ili pdf zbroja slučajnih varijabli, razmatra slučaj kada su sve tri varijable $ X, $ $ Y, $ i $ X + Y $ imaju pmf: po definiciji, pmf za $ X + Y $ na bilo kojem broju $ z $ daje udio ulaznica u polju gdje zbroj $ X + Y $ jednako je $ z, $ napisano $ \ Pr (X + Y = z). $

PMf zbroja nalazi se raščlanjivanjem skupa ulaznica prema vrijednosti $ X $ koja je na njima zapisana, slijedeći Zakon ukupne vjerojatnosti, koji tvrdi da proporcije (razdvojenih podskupova) dodaju. Tehnički,

Udio ulaznica pronađenih unutar kolekcije disjontnih podskupova okvira zbroj je udjela pojedinih podskupova.

Primjenjuje se na sljedeći način:

Udio ulaznica gdje je $ X + Y = z $ , napisano $ \ Pr (X + Y = z ), $ mora biti jednak zbroju svih mogućih vrijednosti $ x $ udjela karata gdje $ X = x $ i $ X + Y = z, $ napisano $ \ Pr (X = x, X + Y = z). $

Budući da $ X = x $ i $ X + Y = z $ impliciraju $ Y = zx, $ ovaj se izraz može izravno prepisati u smislu izvornih varijabli $ X $ i $ Y $ kao

$$ \ Pr (X + Y = z) = \ sum_x \ Pr (X = x, Y = z-x). $$

To je konvolucija.


Uredi

Imajte na umu da iako su konvolucije povezane sa zbrojevima slučajnih varijabli, konvolucije nisu konvolucije samih slučajnih varijabli!

Zapravo, u većini slučajeva nije moguće saviti dvije slučajne varijable. Da bi to uspjelo, njihove domene moraju imati dodatnu matematičku strukturu. Ova je struktura kontinuirana topološka skupina.

Ne ulazeći u detalje, dovoljno je reći da konvolucija bilo koje dvije funkcije $ X, Y: G \ to H $ mora apstraktno izgledati otprilike

$$ (X \ star Y) (g) = \ sum_ {h, k \ in G \ mid h + k = g} X (h) Y (k) . $$

(Zbroj može biti integral i, ako će se iz postojećih izraditi nove slučajne varijable, $ X \ star Y $ mora biti mjerljiv kad god $ X $ i $ Y $ su; tu moraju ući neka razmatranja o topologiji ili mjerljivosti.)

TOva formula poziva dvije operacije. Jedna je množenje na $ H: $ mora imati smisla množiti vrijednosti $ X (h) \ u H $ i $ Y (k) \ u H. $ Drugi je dodatak o $ G: $ mora imati smisla dodati elemente $ G. $

U većini aplikacija za vjerojatnost, $ H $ skup je brojeva (stvarnih ili složenih), a množenje je uobičajeno. Ali $ G, $ prostor uzorka, često uopće nema matematičku strukturu. Zbog toga konvolucija slučajnih varijabli obično nije ni definirana.Objekti koji su uključeni u konvolucije u ovoj niti su matematički prikazi raspodjele slučajnih varijabli. Koriste se za izračunavanje raspodjele zbroja slučajnih varijabli, s obzirom na zajedničku raspodjelu tih slučajnih varijabli.


Reference

Stuart i Ord, Kendallova napredna teorija statistike, svezak 1. Peto izdanje, 1987., poglavlja 1, 3 i 4 ( Raspodjela frekvencija, trenuci i kumulanti, i Karakteristične funkcije ).

Asocijativnost sa skalarnim množenjem iz [algebarskih svojstava] (https://en.wikipedia.org/wiki/Convolution#Algebraic_properties) odnosi se na to da $$ a (f ∗ g) = (a f) ∗ g $$ za bilo koji stvaran (ili složen) broj $ a $.Dok je jedno lijepo svojstvo da je konvolucija dviju funkcija gustoće funkcija gustoće, jedna nije ograničena na funkcije konvolvirajuće gustoće, a konvolucija općenito nije tretman vjerojatnosti, naravno da može biti, ali to može biti tretman vremenske serije,npr. tretman otjecanja vode u jezerima nakon kiše, model koncentracije lijeka nakon doziranja, itd.
@Carl Kako se taj komentar slaže s vašim izvornim pitanjem koje pita o * zbrojevima slučajnih varijabli *?U najboljem slučaju je tangencijalno.
Molim vas da ne pretjerano generalizirate.Započeti rečenicu s "konvolucija je", a ne reći "konvolucija RV-a je", eliptično je.Cijeli moj problem ovdje bio je s eliptičnom notacijom.Dodavanje vektora dva $ n $ -prostorna vektora je konvolucija, bez obzira jesu li ti vektori normalizirani ili ne.Ako su normalizirane, to ne moraju biti vjerojatnosti, to je cijela istina, a ne samo njezin dio.
Hvala: Razjasnit ću prvu rečenicu kako bih naglasio da odgovaram na vaše pitanje.
Novi dodatak vrijedi za savijanje RV-a, što je tehnički ono što sam tražio.I možda dvoumim, ali konvolucija nije uvijek RV-a, ali se uvijek može svesti na neke faktore skale funkcija gustoće puta uvećane za one funkcije gustoće, gdje su skalari multiplikativni i gdje su funkcije gustoće ponekad RV, u tom su slučaju faktori skalemultiplikativni identitet, tj. 1.
Budući da mislite da je ovaj post netočan, molimo vas da ga ne prihvatite.Budući da u njemu ne vidim ništa netočno, onda ono što pokušavate reći jest da vaše pitanje možda nisam protumačio onako kako ste namjeravali.U tom slučaju, pojasnite svoje pitanje.
Možda malo pogriješim.Ništa što ste rekli nije pogrešno.Smeta me još nešto što ću pokušati prebaciti negdje drugdje.
Ruben van Bergen
2018-03-06 16:10:33 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Zapravo mislim da ovo nije sasvim u redu, osim ako vas ne razumijem.

Ako su $ X $ i $ Y $ neovisne slučajne varijable, tada je odnos zbroja / konvolucije na koji se pozivate sljedeći: $$ p (X + Y) = p (X) * p (Y) $$ To jest, funkcija gustoće vjerojatnosti (pdf) zbroja jednaka je konvoluciji (označena operatorom $ * $) pojedinačnih pdf-a od $ X $ i $ Y $.

Da biste vidjeli zašto je to tako, uzmite u obzir da za fiksnu vrijednost $ X = x $ zbroj $ S = X + Y $ slijedi pdf od $ Y $, pomaknut za iznos $ x $.Dakle, ako uzmete u obzir sve moguće vrijednosti $ X $, raspodjela $ S $ daje se zamjenom svake točke u $ p (X) $ kopijom $ p (Y) $ usredotočene na toj točki (ili obrnuto), a zatim zbrajanje svih ovih kopija, što je upravo ono što je konvolucija.

Formalno to možemo zapisati kao: $$ p (S) = \ int p_Y (S-x) p_X (x) dx $$ ili, ekvivalentno: $$ p (S) = \ int p_X (S-y) p_Y (y) dy $$

Uredi: Da bih, nadam se, raščistio zabunu, dozvolite mi da rezimiram neke stvari koje sam rekao u komentarima. Zbroj dviju slučajnih varijabli $ X $ i $ Y $ ne odnosi se na zbroj njihovih raspodjela. Odnosi se na rezultat zbrajanja njihovih ostvarenja. Da ponovimo primjer koji sam dao u komentarima, pretpostavimo da su $ X $ i $ Y $ brojevi bačeni bacanjem dvije kockice ($ X $ je broj bačen jednim kockom, a $ Y $ broj bačen drugim ). Tada definirajmo $ S = X + Y $ kao ukupan broj bačenih zajedno s dvije kocke. Na primjer, za datu bacanje kocke mogli bismo baciti 3 i 5, pa bi zbroj bio 8. Pitanje je sada: kako izgleda raspodjela ove sume i kako se odnosi na pojedinačne raspodjele od $ X $ i $ Y $? U ovom konkretnom primjeru, broj bačenih sa svakom matricom slijedi (diskretnu) jednoliku raspodjelu između [1, 6]. Zbroj slijedi trokutnu raspodjelu između [1, 12], s vrhom na 7. Kako se pokazalo, ta se trokutasta raspodjela može dobiti savijanjem jednoličnih raspodjela $ X $ i $ Y $ , a ovo svojstvo zapravo vrijedi za sve zbrojeve (neovisnih) slučajnih varijabli.

Zbrajanje mnogih zbrojeva više je * kombiniranje * od pojedinačnog zbroja vrijednog bilježenja znakom '+'.Moja bi preferencija bila reći da se slučajne varijable *** kombiniraju *** konvolucijom.
Konvoluciju bi se sigurno moglo nazvati zbrojem mnogih suma.Ali ono što morate shvatiti jest da se savijanje * strogo * odnosi na PDF-ove sažetih varijabli.Same varijable nisu * uvijene.Oni se samo dodaju jedan drugome i ne postoji način da se taj dodatak shvati kao operacija konvolucije (tako da je osnovna premisa vašeg pitanja, kako je sada navedeno, netočna).
Ne razumijete tu referencu.Navodi se: _ Distribucija vjerojatnosti zbroja dviju ili više neovisnih slučajnih varijabli je ** konvolucija njihovih pojedinačnih raspodjela ** _.Ne kaže da je zbroj dviju slučajnih varijabli isti kao i zbrajanje tih varijabli.Kaže da je _ distribucija_ zbroja konvolucija _ distribucije_ pojedinih varijabli.Slučajna varijabla i njena raspodjela dvije su različite stvari.
Svakako, možete * pretvoriti slučajne varijable.Ali svojstvo zbroja / konvolucije koje je široko poznato i o kojem se raspravlja u tom članku (i u mom odgovoru iznad) ne * bavi se konvolucijama slučajnih varijabli.Posebno se bavi * zbrojevima * slučajnih varijabli i svojstvima raspodjele tog zbroja.
("Svakako, možete konvertirati slučajne varijable". Možete li? Koliko sam shvatio, jer da biste dobili funkciju raspodjele zbroja slučajnih varijabli, vi konvertirate funkcije mase / gustoće svake od njih, mnogi ljudi govore (labavo) o konvolvirajućim raspodjelama,& neki govore (pogrešno) o uvijanju slučajnih varijabli. Oprostite na odstupanju, ali znatiželjan sam.)
@Scortchi: Slažemo se.Moja je poanta bila samo u tome da, iako je možda moguće saviti dvije slučajne varijable, to je nebitno, jer to nije situacija koja se razmatra u wiki članku na koji se Carl osvrnuo u svom pitanju (koji se bavi zbrojem slučajnih varijabli).Ali sada kada zapravo razmišljam o tome, savijanje dvije varijable zapravo nije ni moguće, jer se savijanje odnosi na funkcije, a ne na varijable (očito).
Hvala!Imao sam maglovitu predodžbu da, budući da je formalna definicija slučajne varijable funkcija koja pretvara ishode u brojeve, možda postoji neko doslovno značenje "motanja slučajnih varijabli" koje nisam bio svjestan.
@Scortchi: Pa, tehnički, mogli biste imati slučajno vrijednosne varijable ...
Scortchi - Reinstate Monica
2018-03-07 18:33:49 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Započnite razmatranjem skupa svih mogućih različitih ishoda postupka ili eksperimenta. Neka $ X $ bude pravilo (još uvijek nije određeno) za dodjeljivanje broja bilo kojem zadanom ishodu $ \ omega $ raspon>; neka bude i $ Y $ . Tada $ S = X + Y $ navodi novo pravilo $ S $ za dodjeljivanje broja bilo kojem danom ishod: dodajte broj koji dobijete iz sljedećeg pravila $ X $ broju koji dobijete iz sljedećeg pravila $ Y $ raspon>.

Tu se možemo zaustaviti. Zašto $ S = X + Y $ ne bi trebalo zvati zbrojem?

Ako nastavimo s definiranjem prostora vjerojatnosti, funkcija mase (ili gustoće) slučajne varijable (jer takva su naša pravila sada) $ S = X + Y $ može se dobiti konvertiranjem funkcije mase (ili gustoće) $ X $ s funkcijom $ Y $ (kada su neovisni). Ovdje "motanje" ima svoj uobičajeni matematički smisao. Ali ljudi često govore o zamršenim distribucijama, što je bezazleno; ili ponekad čak i od konvertirajućih slučajnih varijabli, što očito nije - ako sugerira čitanje " $ X + Y $ " kao " $ X \ \ mathrm {convoluted \ with} \ Y $ ", & stoga da" $ + $ "u prvom predstavlja složenu operaciju nekako analogno, ili proširivanje ideje, dodavanja, a ne dodavanja običnog & jednostavnog. Nadam se da je iz gornjeg izlaganja jasno, zaustavljajući se tamo gdje sam rekao da možemo, da $ X + Y $ već ima sasvim smisla prije nego što se vjerojatnost uopće unese u sliku.

U matematičkom smislu, slučajne varijable su funkcije čija je domena skup realnih brojeva & čija je domena skup svih ishoda. Dakle, " $ + $ " u " $ X + Y $ " (ili " $ X (\ omega) + Y (\ omega) $ ", da se njihovi argumenti eksplicitno prikažu) ima potpuno isto značenje kao i" $ + $ "u" $ \ sin (\ theta) + \ cos (\ theta) $ ". U redu je razmišljati o tome kako biste zbrojili vektore ostvarenih vrijednosti, ako to pomaže intuiciji; ali to ne bi trebalo izazvati zabunu oko označavanja koja se koristi za same zbrojeve slučajnih varijabli.


[Ovaj odgovor samo pokušava sažeto sakupiti poente koje su u svojim odgovorima na komentare & @MartijnWeterings, @IlmariKaronen, @RubenvanBergen, & @whuber. Mislio sam da bi moglo doći iz smjera objašnjavanja što je slučajna varijabla, a ne što je konvolucija. Hvala svima!]

(+1) Za trud.Odgovor mi je predubok.Međutim, dovelo me do jednog.Molimo vas pročitajte to i javite mi svoje misli.
Eliptični zapis me zbunio: $ S_i = X_i + Y_i $ za sve $ i = 1,2,3, ..., n-1, n $, drugim riječima, ** vektorski ** dodatak.Da je netko rekao, ** "dodavanje vektora" **, a ne ** "dodavanje" **, ne bih se češkao po glavi pitajući se što se misli, ali ni rekao.
Pa, ako stavite realizacije od $ X $ & $ Y $ u vektore i želite izračunati vektor realizacija od $ S $, tada biste upotrijebili sabiranje vektora.Ali to se čini prilično tangencijalno.Napokon, biste li osjećali potrebu da objasnite '$ \ sin (\ theta) + \ cos (\ phi) $' pomoću vektora ili biste rekli da '$ + $' u tom izrazu znači dodavanje vektora?
Raditi što?Kontekst su bili diskretni podaci, npr. RV-ovi, a ne kontinuirane funkcije, npr. PDF-ovi ili $ \ sin (\ theta) $, a $ \ sin (\ theta) + \ cos (\ phi) $ je uobičajena suma.
Čini se da nešto lovite, evo nagovještaja.Korelirana varijanca $ {\ sigma_M} ^ 2 = {\ sigma_ {F, N}} ^ 2 = {\ sigma_F} ^ 2 - {\ sigma_N} ^ 2-2 {\ rho} _ {F, N} {\ sigma} _F {\ sigma} _N $ je iz [točkanog proizvoda vektora sa sobom] (https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product#Application_to_the_law_of_cosines).Ako želite vizualizirati matematiku i dati značenje stvarima, npr. Da je Pearsonova korelacija numerički ekvivalentna kosinusu kuta između dva vektora, tada je put vektorski račun.
Slučajne varijable * su * matematičke funkcije.(U odgovoru sam ih nazvao "pravilima" kako ne bi bili previše tehnički.) Njihovi su iznosi također uobičajeni iznosi.
Ne baš.Zbrajanje se vrši obično, ali zbraja se $ n $ parova ishoda, što nije isto što i pojedinačni zbroj ili paušalni zbroj, a izostavljanje indeksiranja $ i $ bilo je zbunjujuće jer izostavljanajvažnije, npr. da su oba RV-a duljine $ n $ i zbunili su ne samo mene, već i neke od 10 000+ ljudi koji su posjetili ovo pitanje, što mi signalizira da i samo pitanje ima smisla, a ako nijeimaju zasluge, zašto ste se potrudili odgovoriti?
Prilikom upisivanja $ X $ za slučajnu varijablu ne izostavlja se indeksiranje, kao ni kod upisivanja $ \ sin (\ theta) $ za trigonometrijsku funkciju.Opet, [slučajne varijable] (https://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable) * su * funkcije;to nije analogija.Ono (što je obično) izostavljeno je argument - ishod: možete napisati $ X (\ omega) $ da bude eksplicitno.Dakle, $ S (\ omega) = X (\ omega) + Y (\ omega) $ definira funkciju u smislu zbroja ostalih funkcija.
Zbunjujuće.Diskretni stohastički ishodi često su funkcije kada se slučajno stvarno vrednuju.Teško razumijem kakav je kontekst koji pretpostavljate.Veza koju ste dali nije od pomoći jer definicija slučajne varijable može biti diskretna stvarna, diskretna cjelobrojna, kontinuirana itd. I $ \ omega $, kao i $ X $, čini se da ne odgovaraju nijednoj određenoj vrsti podataka.Koja su svojstva $ X $ i $ \ omega $, tj. Vrste podataka, rasponi i dopuštene vrijednosti koje se primjenjuju na vaše izjave?
Ishodi se moraju međusobno isključivati i zajednički iscrpiti.Skup svih ishoda $ \ Omega $ može biti konačan ili brojivo ili nebrojivo beskonačan.$ X $ ima domenu $ \ Omega $ i ko-domenu pravi broj.Te su odredbe dovoljno općenite da pokrivaju diskretne, kontinuirane i slučajne varijable mješovitog tipa.
Izgubili ste me na $ \ infty $ jer, izbrojivo ili ne, cijeli svemir nema toliko kvantnih stanja.Možete li dati primjer koji može imati toliko ishoda?Što se tiče $ S (\ omega) = X (\ omega) + Y (\ omega) $, matematički gledano, čini se da je $ \ omega $ parametar u parametarskoj zbroju jednadžbe, što nije prvo što mi pada na pametkada je napisano $ X + Y $, pa se zapis $ X + Y $ doima obmanjujućim ako je dan bez preambule.
@Carl: (1) Ako biolog modelira br.jaja položena u patkino gnijezdo kao Poisson r.v., zapravo ne ukazuju na mogućnost beskonačnosti jaja.Ako imate pitanje o ulozi beskonačnih skupova u matematici, postavite ga na Matematika ili Filozofija SE.(2) Iako sasvim uobičajena, nomenklatura doista može zavesti;otuda i moj odgovor.
(1) Doista.Neadekvatan [pokrivenost mrežom] (https://stats.stackexchange.com/q/273185/99274) desnog repa približno Poissonovog izbrojivo beskonačnog broja jajašaca možda neće imati granični najveći interval x x-osi od jednog, i pmf Poisson možda neće savršeno modelirati izbrojivo beskonačan problem s jajima.(2) Dogovoreno.Konačno, moj jedini problem s vašim postom je napomena "Zašto se = + ne bi zvalo zbrojem?"odgovor na koji se čini da parametarski zbrojevi nisu uobičajeni, a ne pojedinačni zbrojevi, već su brojni i upareni.
Eric Towers
2018-03-07 11:10:24 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Kao odgovor na vašu "Obavijest", hm, ... ne.

Neka $ X $, $ Y $ i $ Z $ budu slučajne varijable, a $ Z = X + Y $.Zatim, nakon što odaberete $ Z $ i $ X $, forsirate $ Y = Z - X $.Ova dva izbora donosite ovim redoslijedom kada pišete $$ P (Z = z) = \ int P (X = x) P (Y = z - x) \ mathrm {d} x \ text {.} $$ Ali to je zaplet.

Obavijest nestala.(+1) vama na brizi.
LiKao
2018-03-06 16:10:56 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Razlog je isti što su proizvodi energetskih funkcija povezani sa konvolucijama. Konvolucija se uvijek pojavljuje prirodno ako se kombinirate s objektima koji imaju raspon (npr. Moći dviju funkcija snage ili raspon PDF-ova) i gdje se novi raspon pojavljuje kao zbroj izvornih raspona.

Najlakše je vidjeti srednje vrijednosti. Da bi $ x + y $ imao srednju vrijednost, oboje moraju imati srednje vrijednosti, ili ako jedan ima visoku vrijednost, drugi mora imati malu vrijednost i obrnuto. To se podudara s oblikom konvolucije koja ima jedan indeks koji prelazi s visokih na niske vrijednosti, dok se drugi povećava.

Ako pogledate formulu za savijanje (za diskretne vrijednosti, samo zato što mi je tamo lakše vidjeti)

$ (f * g) (n) = \ sum_k f (k) g (n-k) $

tada vidite da zbroj parametara funkcija ($ n-k $ i $ k $) uvijek iznosi točno $ n $. Dakle, ono što konvolucija zapravo radi, zbraja sve moguće kombinacije koje imaju istu vrijednost.

Za funkcije napajanja dobivamo

$ (a_0 + a_1x ^ 1 + a_2x ^ 2 + \ ldots + a_nx ^ n) \ cdot (b_0 + b_1x ^ 1 + b_2x ^ 2 + \ ldots + b_mx ^ m) = \ sum_ {i = 0} ^ {m + n} \ sum_k a_k * b_ {ik} x ^ i $

koja ima isti obrazac kombiniranja ili visokih eksponenata s lijeve strane s niskim eksponentima s desne ili obrnuto, da bi se uvijek dobio isti zbroj.

Jednom kada vidite, što konvolucija ovdje zapravo radi, tj. koji se pojmovi kombiniraju i zašto se stoga mora pojaviti na mnogim mjestima, razlog za konvertiranje slučajnih varijabli trebao bi postati sasvim očit.

Carl
2018-03-09 19:15:50 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Dokažimo pretpostavku za kontinuirani slučaj, a zatim je objasnimo i ilustriramo pomoću histograma izgrađenih od slučajnih brojeva i zbrojeva nastalih dodavanjem poredanih parova brojeva tako da su diskretna konvolacija i obje slučajne varijable duljina $ n $ .

Iz Grinstead CM, Snell JL. Uvod u vjerojatnost: Amerikanac Matematički soc .; 2012. Pogl. 7, vježba 1:

Neka $ X $ i $ Y $ budu neovisne stvarne vrijednosti slučajnih varijabli s funkcije gustoće $ f_X (x) $ , odnosno $ f_Y (y) $ . Pokaži to funkcija gustoće zbroja $ X + Y $ je konvolucija funkcije $ f_X (x) $ i $ f_Y (y) $ .

Neka $ Z $ bude zajednička slučajna varijabla $ (X, Y) $ . Zatim zglob funkcija gustoće $ Z $ je $ f_X (x) f_Y (y) $ , budući da je $ X $ i $ Y $ su neovisna. Sada izračunajte vjerojatnost da $ X + Y ≤ z $ , integrirajući funkciju gustoće zglobova u odgovarajućem području u Zrakoplov. To daje kumulativnu funkciju raspodjele $ Z $ .

$$ F_Z (z) = \ mathrm {P} (X + Y \ leq z) = \ int _ {(x, y): x + y \ leq z} f_X (x) \, f_Y (y) \, dy \, dx $$ $$ = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f_X (x) \ lijevo [\ int_ {y \, \ leq \, zx} f_Y (y) \, dy \ desno] dx = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f_X (x) \ lijevo [F_Y (z − x) \ desno] \, dx. $$

Sada diferencirajte ovu funkciju s obzirom na $ z $ da biste dobili funkcija gustoće $ z $ .

$$ f_Z (z) = \ frac {dF_Z (z)} {dz} = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f_X (x) \, f_Y (zx) \, dx. $$

Da bismo uvidjeli što ovo znači u praksi, ovo je sljedeće ilustrirano primjerom. Realizacija elementa slučajnog broja (statistika: ishod, informatika: primjer) iz raspodjele može se promatrati kao preuzimanje inverzne funkcije kumulativne gustoće funkcije gustoće vjerojatnosti slučajne vjerojatnosti. (Slučajna vjerojatnost je, računski, jedan element iz jednolike raspodjele na intervalu [0,1].) To nam daje jednu vrijednost na $ x $ -os. Dalje generiramo drugi slučajni element $ x $ -axis iz inverznog CDF-a drugog, moguće različitog PDF-a drugog, različitog slučajnog vjerojatnosti. Tada imamo dva slučajna elementa. Kad se dodaju, tako generirane dvije vrijednosti $ x $ postaju treći element i primijetite što se dogodilo. Dva elementa sada postaju jedan element veličine $ x1 + x2 $ , tj. Podaci su izgubljeni. Ovo je kontekst u kojem se odvija "dodavanje"; to je dodavanje vrijednosti $ x $ . Kada se održe višestruka ponavljanja ove vrste zbrajanja, rezultirajuća gustoća realizacija (gustoća ishoda) zbrojeva teži prema PDF-u konvolucije pojedinačnih gustoća. Ukupni gubitak informacija rezultira zaglađivanjem (ili disperzijom gustoće) konvolucije (ili suma) u usporedbi s konstituiranim PDF-ovima (ili sabirkama). Drugi je učinak pomicanje konvolucije (ili iznosa) na mjestu. Imajte na umu da realizacije (ishodi, instance) više elemenata daju samo rijetke elemente koji popunjavaju (primjer) kontinuirani prostor uzorka.

Na primjer, 1000 slučajnih vrijednosti stvoreno je pomoću gama raspodjele oblika $ 10/9 $ i razmjera 2 $ .Te su dodane u paru na 1000 slučajnih vrijednosti iz normalne raspodjele sa srednjom vrijednosti 4 i standardnim odstupanjem od $ 1/4 $ .Gustoće prilagođeni histogrami svake od tri skupine vrijednosti ko-crtani su (lijeva ploča dolje) i suprotstavljeni (desna ploča dolje) funkcijama gustoće korištenim za generiranje slučajnih podataka, kao i konvoluciji tih funkcija gustoće. enter image description here

Kao što se vidi na slici, čini se da je objašnjenje dodavanja sabiraka vjerojatno jer su izravnane distribucije podataka (crvene) u jezgri na lijevoj ploči slične funkcijama kontinuirane gustoće i njihovoj konvoluciji na desnoj ploči.

@whuber Napokon, mislim da razumijem.Zbroj je slučajnih događaja.Pogledajte moje objašnjenje i recite mi je li sad jasno, molim vas.
Pomaže biti oprezan s jezikom.Događaji su * skupovi *.Rijetko su čak skupovi brojeva (zato se njihovi elementi nazivaju "ishodi").Događaji se ne dodaju - vrijednosti slučajnih varijabli jesu.Pitanje o "impresivno kompliciranom" samo odvlači pažnju.Zapravo, ako želite ući u srž stvari, pobrinite se da je jedan od sažetaka u vašem primjeru slučajna varijabla nula-srednja, jer srednja vrijednost utječe na ukupni pomak u mjestu.Želite intuitivno shvatiti što konvolucija * inače * čini nego da pomiče lokaciju.
@whuber Hvala-korisno.Samo u statistici ishod je jedan element prostora uzorka.Za nas ostale ishod je rezultat događaja.Zaglađivanje i pomicanje.Ono što pokazujem je najmanje zbunjujući primjer mnogih, jer smanjuje koliziju nadređenih ploha.
+1 za novi uvod: on jasno iznosi vaš program na nepolemičan način, učinkovito postavljajući pozornicu za ostatak posta.
@whuber polemičan --- lijepa riječ --- hvala.
NAPOMENA: Vaša karakterizacija modela smjese nije točna.Možete vidjeti koji bi problemi mogli biti uzimajući u obzir dva skupa koja nisu disjunktna.Vaš novi opis konvolucije također nije točan.
@whuber Hvala, mogu to promijeniti, ali prvo bih želio razumjeti zašto.Ako skupovi nisu "razdvojeni", pretpostavljam da to znači da su poput kockica, jer se stvarni brojevi ne ponavljaju.Hoćete reći da to nije unija jer ne bih dvaput izbrojio šesticu?To bih ubrojio u spojeni popis, pomaže li to?Što se tiče toga zašto konvolucija nije vektorski zbroj, zaključujem da ne razumijem.
Pa, u vašem odgovoru dotični vektori su funkcije gustoće $ f_X $ i $ f_Y, $ s vektorskim zbrojem $ f_X + f_Y. $ Očito se to razlikuje od njihove konvolucije uopće.Teško mi je formulirati bilo koji model smjese u smislu unija skupova, ali možda imam različite koncepte "modela smjese" i "skupa" od kojih vi radite.
@whuber dogovoreno.Promijenio sam zapis tako da odražava vaš valjani POV koliko sam ga mogao razumjeti.Rješavanje dvosmislenih zapisa teško je, a većina nema strpljenja za to.Preostaje "Zašto ne vektorske sume?"to je ono što se radi numerički i podrazumijeva veliki skup već postojećih matematičkih operacija koje su u potpunosti relevantne, odnosno mislim da jesu, i očekuju vaše komentare.
Sad vidim kako razmišljate o modelima smjesa.Konstruirate ono što se ponekad naziva i "multisetovi".(Obično se koristi konstruktor koji nije zagrada $ \ {, \} $ da bi se pojasnio zapis.) Čini se da je ideja ideja empirijske funkcije raspodjele: empirijska raspodjela višestrukog skupa $ A $ i empirijska raspodjelamultiset $ B $ dovode do empirijske raspodjele njihove multiset unije, koja je mješavina dviju raspodjela s relativnim ponderima $ | A | $ i $ | B |. $
Mislim da otkrivam potencijalni izvor zabune u ovim tekućim uređivanjima.Budući da bi za objašnjenje u komentaru trebalo predugo, svom odgovoru pridodao sam uređivanje u nadi da bi mogao malo pomoći.Doista, izvorni prvi redak mog odgovora bio je zavaravajuć zbog toga, pa sam i to popravio s isprikama.
Dogovoren.Nisam siguran u svoj trenutni odgovor.Morat ću razmisliti o tome.
Mossmyr
2019-09-15 20:08:07 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ovo je pitanje možda staro, ali želio bih pružiti još jednu perspektivu. Gradi se na formuli za promjenu varijable u zajedničkoj gustoći vjerojatnosti. Može se naći u Bilješke predavanja: Vjerojatnost i slučajni procesi na KTH, 2017. izd. (Koski, T., 2017., str. 67), koji se sam odnosi na detaljan dokaz u Analysens Grunder , del 2 (Neymark, M., 1970., str. 148-168):


Neka slučajni vektor $ \ mathbf {X} = (X_1, X_2, ..., X_m) $ ima zglob p.d.f. $ f_ \ mathbf {X} (x_1, x_2, ..., x_m) $ . Definirajte novi slučajni vektor $ \ mathbf {Y} = (Y_1, Y_2, ..., Y_m) $ od

$$ Y_i = g_i (X_1, X_2, ..., X_m), \ hspace {2em} i = 1,2, ..., m $$

gdje je $ g_i $ kontinuirano različito i $ (g_1, g_2, ..., g_m) $ raspon> je invertibilan s inverznim

$$ X_i = h_i (Y_1, Y_2, ..., Y_m), \ hspace {2em} i = 1,2, ..., m $$

Tada zglob p.d.f. od $ \ mathbf {Y} $ (u domeni invertibilnosti) je

$$ f_ \ mathbf {Y} (y_1, y_2, ..., y_m) = f_ \ mathbf {X} (h_1 (x_1, x_2, ..., x_m), h_2 (x_1, x_2, ..., x_m) , ..., h_m (x_1, x_2, ..., x_m)) | J | $$

gdje je $ J $ jakobijanska odrednica

$$ J = \ započeti {vmatrix} \ frac {\ djelomično x_1} {\ djelomično y_1} & \ frac {\ djelomično x_1} {\ djelomično y_2} & ... & \ frac {\ djelomično x_1} {\ djelomično y_m} \\ \ frac {\ djelomično x_2} {\ djelomično y_1} & \ frac {\ djelomično x_2} {\ djelomično y_2} & ... & \ frac {\ djelomično x_2} {\ djelomično y_m} \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ \ frac {\ djelomično x_m} {\ djelomično y_1} & \ frac {\ djelomično x_m} {\ djelomično y_2} & ... & \ frac {\ djelomično x_m} {\ djelomično y_m} \\ \ end {vmatrix} $$


Sada, primijenimo ovu formulu za dobivanje zajedničkog p.d.f. zbroja i.r.vs $ X_1 + X_2 $ :

Definirajte slučajni vektor $ \ mathbf {X} = (X_1, X_2) $ s nepoznatim zglobom p.d.f. $ f_ \ mathbf {X} (x_1, x_2) $ . Zatim definirajte slučajni vektor $ \ mathbf {Y} = (Y_1, Y_2) $ od

$$ Y_1 = g_1 (X_1, X_2) = X_1 + X_2 \\ Y_2 = g_2 (X_1, X_2) = X_2. $$

Obrnuta mapa je tada

$$ X_1 = h_1 (Y_1, Y_2) = Y_1 - Y_2 \\ X_2 = h_2 (Y_1, Y_2) = Y_2. $$

Dakle, zbog ovoga i naše pretpostavke da su $ X_1 $ i $ X_2 $ neovisni, zajednički pdf od $ \ mathbf {Y} $ je

$$ \ započeti {split} f_ \ mathbf {Y} (y_1, y_2) & = f_ \ mathbf {X} (h_1 (y_1, y_2), h_2 (y_1, y_2)) | J | \\ & = f_ \ mathbf {X} (y_1 - y_2, y_2) | J | \\ & = f_ {X_1} (y_1 - y_2) \ cdot f_ {X_2} (y_2) \ cdot | J | \ end {split} $$

gdje je Jacobian $ J $

$$ J = \ započeti {vmatrix} \ frac {\ djelomično x_1} {\ djelomično y_1} & \ frac {\ djelomično x_1} {\ djelomično y_2} \\ \ frac {\ djelomično x_2} {\ djelomično y_1} & \ frac {\ djelomično x_2} {\ djelomično y_2} \ end {vmatrix} = \ započeti {vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \ end {vmatrix} = 1 $$

Da biste pronašli p.d.f. od $ Y_1 = X_1 + X_2 $ , marginaliziramo

$$ \ započeti {split} f_ {Y_1} & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f_ \ mathbf {Y} (y_1, y_2) dy_2 \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f_ \ mathbf {X} (h_1 (y_1, y_2), h_2 (y_1, y_2)) | J | dy_2 \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f_ {X_1} (y_1 - y_2) \ cdot f_ {X_2} (y_2) dy_2 \ end {split} $$

gdje nalazimo vašu konvoluciju: D

Anthony
2019-06-23 00:20:22 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ovdje se nalaze opći izrazi za zbrojeve n kontinuiranih slučajnih varijabli:

https://journals.plos.org/plosone/article?id=10.1371/journal.pone.0216422

"Višestupanjski modeli za neuspjeh složenih sustava, kaskadne katastrofe i početak bolesti"

Za pozitivne slučajne varijable zbroj se može jednostavno zapisati u smislu proizvoda Laplaceovih transformacija i inverzne vrijednosti njihovog proizvoda.Metoda je prilagođena izračunu koji se pojavio u E.T.Jaynesova udžbenik "Teorija vjerojatnosti".

Dobrodošli na našu stranicu.Mogli biste pronaći nit na https://stats.stackexchange.com/questions/72479, kao i Moschopolous papir na koji se poziva, koji će biti zanimljivi.


Ova pitanja su automatski prevedena s engleskog jezika.Izvorni sadržaj dostupan je na stackexchange-u, što zahvaljujemo na cc by-sa 3.0 licenci pod kojom se distribuira.
Loading...