Pitanje:
Povezanost poisonske i eksponencijalne raspodjele
user862
2010-08-25 13:33:15 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Vrijeme čekanja za poisonovu raspodjelu je eksponencijalna raspodjela s parametrom lambda. Ali ja to ne razumijem. Poisson modelira broj dolazaka u jedinici vremena, na primjer. Kako je to povezano s eksponencijalnom raspodjelom? Recimo da je vjerojatnost k dolazaka u jedinici vremena P (k) (modelirano poissonom), a vjerojatnost k + 1 P (k + 1), kako eksponencijalna raspodjela modelira vrijeme čekanja između njih?

Poissonova * distribucija * nema vremena čekanja.To su svojstvo Poissonovog procesa.
Također pogledajte [ovdje] (http://www.csee.usf.edu/~kchriste/tools/poisson.pdf), bolje objašnjenje o razlici između ove dvije distribucije.
Pet odgovori:
#1
+82
user28
2010-08-25 14:43:51 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Koristit ću sljedeći zapis kako bih bio što dosljedniji wikiju (u slučaju da se želite kretati naprijed-nazad između mog odgovora i wiki definicija za poisson i eksponencijalno.)

$ N_t $: broj dolazaka tijekom vremenskog razdoblja $ t $

$ X_t $: vrijeme potrebno za dolazak jednog dodatnog dolaska pod pretpostavkom da netko je stigao u vrijeme $ t $

Prema definiciji, sljedeći su uvjeti ekvivalentni:

$ (X_t > x) \ equiv (N_t = N_ {t + x}) $

Događaj slijeva bilježi događaj da nitko nije stigao u vremenskom intervalu $ [t, t + x] $ što podrazumijeva da je naš broj dolazaka u trenutku $ t + x $ identično brojanju u trenutku $ t $, što je događaj s desne strane.

Prema pravilu komplementa, imamo i:

$ P (X_t \ le x) = 1 - P (X_t > x) $

Koristeći ekvivalenciju dva događaja koja smo gore opisali, gore navedeno možemo prepisati kao:

$ P (X_t \ le x ) = 1 - P (N_ {t + x} - N_t = 0) $

Ali,

$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = P (N_x = 0) $

Korištenjem poisona pmf gore gdje je $ \ lambda $ prosječni broj dolazaka po vremenskoj jedinici i $ x $ količina vremenskih jedinica, pojednostavljuje se na:

$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = \ frac {(\ lambda x) ^ 0} {0!} e ^ { - \ lambda x} $

tj.

$ P (N_ {t + x} - N_t = 0) = e ^ {- \ lambda x} $

Zamjenjujući izvornu jednadžbu, imamo:

$ P (X_t \ le x) = 1 - e ^ {- \ lambda x} $

Gornje je cdf eksponencijalnog pdf-a.

Ok, ovo jasno govori. Eksponencijalni pdf može se koristiti za modeliranje vremena čekanja između bilo koja dva uzastopna poisonova pogotka, dok poisonski modelira vjerojatnost broja pogodaka. Poisson je diskretan, a eksponencijalni kontinuirana distribucija. Bilo bi zanimljivo vidjeti primjer iz stvarnog života kada njih dvoje istodobno stupaju u igru.
A?je $ t $ ** trenutak ** u vremenu ili ** period ** vremena?
Imajte na umu da distribucija poissona ne znači automatski eksponencijalni pdf za vrijeme čekanja između događaja.Ovo objašnjava samo situacije u kojima znate da je na djelu proces poisona.Ali trebali biste dokazati postojanje poisonske raspodjele I postojanje eksponencijalnog pdf-a da biste pokazali da je poisonov postupak prikladan model!
@CodyBugstein Both: su u ovom kontekstu zamjenjivi.Dolasci su neovisni jedni o drugima, što znači da nije važno koliki je pomak vremena.Razdoblje od vremena `0` do vremena` t` ekvivalentno je bilo kojem vremenskom razdoblju duljine `t`.
@user862: To je potpuno analogno odnosu između frekvencije i valne duljine.Dulja valna duljina;niža frekvencija analogno: dužem vremenu čekanja;niži očekivani dolasci.
@CodyBugstein Kada je t "vremensko razdoblje", to je interval [0, t], tj. Razdoblje od trenutka 0 do trenutka t.
#2
+40
George Dontas
2010-08-25 15:58:53 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Za Poissonov postupak, pogoci se javljaju nasumično neovisno o prošlosti, ali s poznatom dugoročnom prosječnom stopom $ \ lambda $ pogodaka po vremenskoj jedinici. Poissonova distribucija omogućila bi nam da pronađemo vjerojatnost postizanja određenog broja pogodaka.

Sada, umjesto da gledamo broj pogodaka, gledamo slučajnu varijablu $ L $ (za Lifetime), vrijeme u kojem trebate pričekati prvi pogodak.

Vjerojatnost da je vrijeme čekanja duže od zadane vrijednosti vremena je $ P (L \ gt t) = P (\ text {nema pogodaka u vremenu t}) = \ frac {\ Lambda ^ 0e ^ {- \ Lambda}} {0!} = e ^ {- \ lambda t} $ (Poissonovom raspodjelom, gdje $ \ Lambda = \ lambda t $ ).

$ P (L \ le t) = 1 - e ^ {- \ lambda t} $ (kumulativna funkcija raspodjele). Funkciju gustoće možemo dobiti uzimajući derivat ovoga:

$$ f (t) = \ begin {cases} \ lambda e ^ {- \ lambda t} & \ mbox {for} t \ ge 0 \\ 0 & \ mbox {for} t \ lt 0 \ end {case} $$

Bilo koja slučajna varijabla koja ima gustoću Ovakva funkcija kaže se eksponencijalno raspoređena.

Uživao sam u objašnjenju $ P (L> t) = P $ * (bez pogodaka u vremenu t) *. Ovo je za mene imalo smisla.
Još jedna točka, 1 jedinica vremena ima $ \ lambda $ pogodaka, tako da $ t $ jedinice vremena imaju $ \ lambda t $ pogodaka.
#3
+6
user2024015
2017-08-11 06:51:06 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ostali odgovori dobro objašnjavaju matematiku. Mislim da pomaže razmotriti fizički primjer. Kad razmišljam o Poissonovom procesu, uvijek se vratim ideji automobila koji prolaze cestom. Lambda je prosječni broj automobila koji prolaze u jedinici vremena, recimo 60 / sat (lambda = 60). Međutim, znamo da će stvarni broj varirati - koji dan više, neki dan manje. Poissonova raspodjela omogućuje nam modeliranje ove varijabilnosti.

Sada je prosječno 60 automobila na sat jednako prosjeku 1 automobila koji prolazi u minuti. Ipak, opet znamo da će postojati varijabilnost u vremenu između dolazaka: Ponekad više od 1 minute; drugi put manje. Eksponencijalna raspodjela omogućuje nam modeliranje ove varijabilnosti.

Sve to, automobili koji prolaze cestom, neće uvijek slijediti Poissonov proces. Ako je, na primjer, prometna signalizacija, na primjer, dolasci će se gomilati umjesto stabilnih. Na otvorenoj autocesti spora lagana traktorska prikolica može zadržati dugački niz automobila, što opet uzrokuje nakupljanje. U tim slučajevima Poissonova raspodjela može i dalje raditi u redu tijekom duljih vremenskih razdoblja, ali eksponencijalno neće uspjeti u modeliranju vremena dolaska.

Također imajte na umu da postoji velika varijabilnost ovisno o dobu dana: prometnije za vrijeme putovanja na posao; puno sporije u 3 sata ujutro. Uvjerite se da vaša lambda odražava određeno vremensko razdoblje koje razmatrate.

#4
+4
Stuart Winter
2012-04-23 14:54:19 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Poissonova raspodjela obično se izvodi iz binomne raspodjele (obje diskretne). Ovo ćete pronaći na Wikiju.

Međutim, Poissonova raspodjela (diskretna) također se može izvesti iz eksponencijalne raspodjele (kontinuirana).

Dodao sam dokaz na Wiki (veza dolje):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution

veza između diskretnog i kontinuiranog nije bila očita, hvala na ovome!
Nisam uvjeren u to rješenje wikipedije.Konkretno, izračuni višeg reda uključuju ograničenja na integrale koji sadrže pojmove "1-x-y", što ja (barem u današnje vrijeme) ne razumijem.Nadalje, čini se da izraz "p (0; lambda)" ne daje isti odgovor ako je ovdje korišteni integral zamijenjen s "1-int", gdje je "int" drugi integral s ograničenjima između "[0,1]`umjesto" [1, + inf] ".Na ovome radim otprilike tjedan dana i nisam puno napredovao.
#5
+1
Ben
2020-05-27 07:16:10 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Iako ostali odgovori ovdje ulaze u detaljnije objašnjenje, dat ću vam jednostavan sažetak jednadžbe koja se odnosi na skup IID eksponencijalnih slučajnih varijabli i generiranu Poissonovu slučajnu varijablu. Poissonova slučajna varijabla s parametrom $ \ lambda > 0 $ može se generirati brojanjem broja sekvencijalnih događaja koji se događaju u vremenu $ \ lambda / \ eta $ gdje su vremena između događaja neovisne eksponencijalne slučajne varijable sa stopom $ \ eta $ . (Postavljanje $ \ eta = 1 $ daje vam jednostavan način generiranja Poissonove slučajne varijable iz niza eksponencijalnih slučajnih varijabli jedinice IID.)

To znači da ako $ E_1, E_2, E_3, ... \ sim \ text {Exp} (\ eta) $ s parametrom stope $ \ eta>0 $ i $ K \ sim \ text {Pois} (\ lambda) $ s parametrom stope $ \ lambda>0 $ onda imate:

$$ \ mathbb {P} (K \ geqslant k) = \ mathbb {P} \ Big (E_1 + \ cdots + E_k \ leqslant \ frac {\ lambda} {\ eta} \ Big). $$



Ova pitanja su automatski prevedena s engleskog jezika.Izvorni sadržaj dostupan je na stackexchange-u, što zahvaljujemo na cc by-sa 2.0 licenci pod kojom se distribuira.
Loading...